Hyperreelle Zahl

In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der hyperreellen Zahlen wird meist als ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ geschrieben; sie erweitert die reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.

Als Newton und Leibniz ihre Differentialrechnung mit „Fluxionen“ bzw. „Monaden“ durchführten, benutzten sie infinitesimale Zahlen, und auch Euler und Cauchy fanden sie nützlich. Trotzdem wurden diese Zahlen von Anfang an skeptisch betrachtet, und im 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch die Einführung der Epsilon-delta-Definition des Grenzwertes und die Definition der reellen Zahlen durch Cauchy, Weierstraß und andere auf eine strenge Grundlage gestellt, die ohne infinitesimale Größen auskommt.

Abraham Robinson zeigte dann in den 1960er Jahren, auf welche Weise unendlich große und kleine Zahlen streng formal definiert werden können, und eröffnete so das Gebiet der Nichtstandardanalysis. Die hier gegebene Konstruktion ist eine vereinfachte, aber nicht minder strenge Version, die zuerst von Lindstrom gegeben wurde.

Durch die hyperreellen Zahlen ist eine Formulierung der Differential- und Integralrechnung ohne den Grenzwertbegriff möglich.